Analisando Rosas

Equações da forma r = a cos ( n ) e r = a sin ( n ) são descritas como rosas .

Examine o gráfico da equação polar .

> plot(cos(2*theta),theta=-Pi..Pi,coords=polar);

Baseado no gráfico polar gerado, descreva o gráfico em termos de:
a) número de pétalas.

R: Existem 4 pétalas as quais podem ser obtidas dobrando o coeficiente de .

b) Ângulo medido entre pétalas.

R: O ângulo medido entre as pétalas é 90º ou .

c) Extensão de cada pétala.

R: Cada pétala é 1 unidade longa a qual é o coeficiente do termo cosseno.

Examine outros gráficos de para n = 3, 4 e 5.

> plot(cos(3*theta),theta=-Pi..Pi,coords=polar);

> plot(cos(4*theta),theta=-Pi..Pi,coords=polar);

> plot(cos(5*theta),theta=-Pi..Pi,coords=polar);

Formule uma conjectura considerando o:

a) Número de pétalas de uma rosa cuja equação é da forma .

R: O número de pétalas de uma rosa cuja equação é é n se n for um número par e 2n se n for um número ímpar.

b) Ângulo medido entre pétalas de uma rosa cuja equação é da forma .

R: O ângulo medido entre pétalas de uma rosa cuja equação é é 360º / n (ou ) se n é um número par e 360º / 2n (ou ) se n é um número ímpar.

c) Extensão de cada pétala de uma rosa da forma .

R: A extensão de cada pétala de uma rosa cuja equação é é 1 a qual é o coeficiente do termo cosseno.

O gráfico da curva polar é apresentado abaixo.

> plot(sin(2*theta),theta=-Pi..Pi,coords=polar);

Baseado no gráfico polar gerado, descreva o gráfico em termos do:
a) Número de pétalas.

R: Existem 4 pétalas as quais podem ser obtidas dobrando o coeficiente .

b) Ângulo medido entre as pétalas.

R: O ângulo medido entre as pétalas é 90º ou .

c) Extensão de cada pétala.

R: Cada pétala é 1 unidade longa a qual é o coeficiente do termo cosseno.

Examine outros gráficos de para n = 3, 4, e 5.

> plot(sin(3*theta),theta=-Pi..Pi,coords=polar);

> plot(sin(4*theta),theta=-Pi..Pi,coords=polar);

> plot(sin(5*theta),theta=-Pi..Pi,coords=polar);

Formule uma generalização baseada no:
a) Número de pétalas de uma rosa cuja equação é da forma .

R: O número de pétalas de uma rosa cuja equação é é n se n for um número par e se n for um número ímpar.

b) Ângulo medido entre pétalas de uma rosa cuja equaçao é da forma .

R: O ângulo medido entre pétalas de uma rosa cuja equaçao é é 360º / n (ou ) se n é um número par 360º/ ( ou ) se n é um número ímpar.

c) Extensão de cada pétala de uma rosa da forma .

R: A extensão de cada pétala de uma rosa cuja equaçao é é 1 a qual é o coeficinete do termo seno.

Examine o gráfico da curva .

> plot(2*cos(2*theta),theta=-Pi..Pi,coords=polar);

Qual é o tamanho de cada pétala ?

R: 2.

Examine cada um dos seguintes gráficos.

a)

> plot(4*sin(3*theta),theta=-Pi..Pi,coords=polar);

b)

> plot(-4*sin(3*theta),theta=-Pi..Pi,coords=polar);

c)

> plot(1.5*cos(4*theta),theta=-Pi..Pi,coords=polar);

d)

> plot(-1.5*cos(4*theta),theta=-Pi..Pi,coords=polar);

Determine a extensão das pétalas de rosa em cada equação polar de a a d acima.

a) 4
b) 4
c) 1.5
d) 1.5

Descreva como você pode prevêr a extensão das pétalas de rosa expressas como cada
ou como .

R: A extensão das pétalas de rosa expressa como ou como é .

Analisando Cardióides

Equações polares das formas ou ( ) ou ou ( ) são descritas como cardióides.

Examine o gráfico da cardióide .

> plot(1+cos(theta),theta=-Pi..Pi,coords=polar);

Identifique:
a) Eixo de simetria.

R: Eixo x .

b) Posição do maior eixo.

R: Positivo eixo x .

c) Extensão do maior eixo.

R: 2.

Examine o gráfico da cardióide .

> plot(1-cos(theta),theta=-Pi..Pi,coords=polar);

Discuta as similaridades e diferenças nos gráficos de e .

R: Os gráficos de e são reflexos de cada outro através do eixo y .

O gráfico da cardióide é apresentado abaixo.

> plot(1+sin(theta),theta=-Pi..Pi,coords=polar);

Identifique o seguinte:

a) Eixo de simetria.

R: Eixo y .

b) Posição do maior eixo.

R: Positivo eixo y .

c) Extensão do maior eixo.

R: 2.

Examine o gráfico da cardióide .

> plot(1-sin(theta),theta=-Pi..Pi,coords=polar);

Discuta a similaridade e diferença nos gráficos de:

a) e .

R: Os gráficos de e sao reflexos de cada outra através do eixo x . Ambos os gráficos tem o mesmo eixo de simetria e as extensões dos seus maiores eixos são iguais.

Eles diferem na posição do maior eixo. O maior eixo de está posicionado ao longo do positivo eixo y e o maior eixo de está posicionado ao longo do eixo negativo eixo y .

b) ou e ou .

R: Os gráficos de todas as quatro cardióides tem o mesma extensão do maior eixo. O eixo de simetria fica ao longo de um eixo positivo quando o sinal do termo seno ou do termo coseno é positivo e ao longo de um eixo negativo quando o sinal do termo seno ou termo coseno é negativo.

Os gráficos diferem na posição dos seus eixos de simetria. O cosseno tem o eixo x como esse eixo de simetria e o seno tem o eixo y como este eixo de simetria.

Analise como o valor de a afeta o gráfico da seguinte cardióide:

a)

> plot(2+2*sin(theta),theta=-Pi..Pi,coords=polar);

b)

> plot(3+3*cos(theta),theta=-Pi..Pi,coords=polar);

c)

> plot(4-4*sin(theta),theta=-Pi..Pi,coords=polar);

d)

> plot(5-5*cos(theta),theta=-Pi..Pi,coords=polar);

Descreva como o valor de a afeta uma cardióide gráfica.

R: A extensão do maior eixo e o menor eixo interceptado estão posicionados em uma distância de unidades da origem.

Analisando Limacons

Equações polares das formas (ou ) ou (ou são limacons. Existirá um loop dentro se a < b e apenas um recuo para a > b .

Uma limacon cuja equação é esta construida abaixo.

> plot(1+3*cos(theta),theta=-Pi..Pi,coords=polar);

Usando o gráfico da limacon acima, determine o seguinte:

a) Eixo de simetria

R: Eixo x .

b) Posição do maior eixo.

R: Positivo eixo x .

c) Extensão do maior eixo.

R: 4.

d) Extensão do loop.

R: 2.

Examine o gráfico da limacon .

> plot(3-5*sin(theta),theta=-Pi..Pi,coords=polar);

Usando o gráfico da limacon acima, determine o seguinte:

a) Eixo de simetria

R: Eixo y .

b) Posição do maior eixo.

R: Negativo eixo y .

c) Extensão do maior eixo.

R: 8.

d) Extensão do loop.

R: 2.

Descreva como você pode explicar a um amigo como o gráfico de pode ser visto.

R: Maior eixo é o negativo eixo x , extensão do maior eixo medido em (0, 0) é 9 ( + ), e a extensão do loop dentro é 5 ( .- ).

Considere o gráfico de .

> plot(3+2*cos(theta),theta=-Pi..Pi,coords=polar);

Explique como os valores 3 e 2 relatam ao gráfico o loopless limacon.

R: A distância ao longo do maior eixo (0, 0) para este final é 5 ( + ) . A distância na direção oposta do maior eixo medido em (0, 0) é 1 ( + ).

Analise os gráficos de outro loopless limacons tais como , , e .

> plot(4-2*sin(theta),theta=-Pi..Pi,coords=polar);

> plot(6-2*cos(theta),theta=-Pi..Pi,coords=polar);

> plot(6+5*sin(theta),theta=-Pi..Pi,coords=polar);

Baseado na sua experiência em construçao de gráficos limacons, preveja como o gráfico de pode ser visto. (Tenha certeza de que você incluiu informações de acordo com a posição e extensão do maior eixo, o efeito dos valores de 5 e 3, etc.)

R: O maior eixo está posicionado ao longo do positivo eixo x e tem uma extensão de 8 (5 +3) medida em (0, 0). Não existe loop. O outro eixo maior interceptado são 2 unidades ( ) medido em (0, 0) ao longo do negativo eixo x .

Formule uma declaração generalizada baseada em como esboçar o gráfico das limacons quando:
a) a < b

R: O maior eixo é interceptado quando a< b está posicionado em (0, 0) e uma distância de unidades em (0, 0). O loop está posicionado dentro da limacon ao longo do maior eixo na distância de unidades em (0, 0). Os dois eixos menores interceptados estão posicionados na distância de a unidades em (0, 0).

a) a > b

R: O maior eixo é interceptado quando a>b está posicionado em (0, 0) e uma distância de unidades em (0, 0). Não existe loop. O outro maior eixo está posicionado na direção oposta a uma distância de unidades em (0, 0). Os dois eixos menores interceptados estão posicionados na distância de a unidades em (0, 0).

Aprofundando seus Conhecimentos

Depois de esboçar , você notou que ele não parece uma limacon. Como você poderia explicar isto?

> plot(2+cos(theta),theta=-Pi..Pi,coords=polar);

R: Quando o valor de a é maior que duas vezes o valor de , a limacon não aparece para recolher. Os gráficos de e são outros exemplos desta situação.